Übung zur Bestimmung von Wendepunkten
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Aufgabe:
Bestimmen Sie rechnerisch die Wendepunkte des Graphen von f mit
f(x) =
Geben Sie (wie in der Aufgabenstellung) in den nachfolgenden Rechnungen das Komma in einer Dezimalzahl als Punkt an.
1. Schritt:
Bestimmung der möglichen Wendestellen
notwendige Bedingung: f ''(x) = 0
f '(x) =
· x2
+
· x
+
f ''(x) =
· x
+
· x
+
= 0
Lösung der Gleichung mit dem GTR (oder mit Hilfe geeigneter mathematischer Methoden):
Die Gleichung hat
Lösung(en).
(Bitte durch Anklicken auswählen)
Mögliche Wendestelle:
x =
2. Schritt:
Untersuchung mit der 3. Ableitung
f '''(x) =
f '''(
) =
≠ 0
Klicken Sie auf die richtige Antwort und füllen Sie gegebenenfalls das Eingabefeld aus.
Der Graph von f hat an der Stelle x =
↓
x =
↓
f ''(
) =
> 0
< 0
f ''(
) =
> 0
< 0
Runden Sie die Ergebnisse auf die 2. Nachkommastelle, um bei der Kontrolle eine korrekte Rückmeldung zu erhalten.
Auswertung:
f '' hat an der Stelle x =
Der Graph von f hat deshalb an der Stelle x =
3. Schritt:
Angabe des Wendepunktes
f(
) =
Wendepunkt: W(
|
)
Zusatz:
Angaben zum Krümmungsverhalten
Da f ''(
) = 0 und f '''(
)
wechselt der Graph von f an der Stelle x =
Zusatz:
Angaben zum Krümmungsverhalten
Da f ''(x)
im Intervall ] − ∞ ;
[ ,
ist der Graph von f in diesem Intervall
Da f ''(x)
im Intervall ]
; + ∞ [ ,
ist der Graph von f in diesem Intervall
Klicken Sie
hier
, um den Graphen von f einzublenden.
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1. Schritt:
Bestimmung der möglichen Wendestellen
notwendige Bedingung: f ''(x) = 0
f '(x) =
· x3
+
· x2
+
· x
+
f ''(x) =
· x2
+
· x
+
· x2
+
· x
+
= 0
Lösung der Gleichung mit dem GTR (oder mit Hilfe geeigneter mathematischer Methoden):
Die Gleichung hat
Lösung(en).
(Bitte durch Anklicken auswählen)
Mögliche Wendestelle:
Mögliche Wendestellen:
x =
x1 =
x2 =
(x1 < x2)
2. Schritt:
Untersuchung mit der 3. Ableitung
f '''(x) =
· x
+
f '''(
) =
≠ 0
Klicken Sie auf die richtige Antwort und füllen Sie gegebenenfalls das Eingabefeld aus.
Der Graph von f hat an der Stelle x =
↓
x =
↓
f ''(
) =
> 0
< 0
f ''(
) =
> 0
< 0
Runden Sie die Ergebnisse auf die 3. Nachkommastelle, um bei der Kontrolle eine korrekte Rückmeldung zu erhalten.
Auswertung:
f '' hat an der Stelle x =
Der Graph von f hat deshalb an der Stelle x =
3. Schritt:
Angabe des Wendepunktes
f(
) =
Wendepunkt: W(
|
)
Zusatz:
Angaben zum Krümmungsverhalten
Da f ''(
) = 0 und f '''(
)
wechselt der Graph von f an der Stelle x =
Zusatz:
Angaben zum Krümmungsverhalten
Da f ''(x)
im Intervall ] − ∞ ;
[ ,
ist der Graph von f in diesem Intervall
Da f ''(x)
im Intervall ]
; + ∞ [ ,
ist der Graph von f in diesem Intervall
Klicken Sie
hier
, um den Graphen von f einzublenden.
(→ zurück)
2. Schritt:
Untersuchung mit der 3. Ableitung
f '''(x) =
· x
+
1. mögliche Wendestelle:
f '''(
) =
≠ 0
2. mögliche Wendestelle:
f '''(
) =
≠ 0
Klicken Sie auf die richtige Antwort und füllen Sie gegebenenfalls das Eingabefeld aus.
Der Graph von f hat an der Stelle x1 =
Der Graph von f hat an der Stelle x2 =
↓
x1 =
↓
x2 =
↓
f ''(
) =
> 0
< 0
f ''(
) =
> 0
< 0
f ''(
) =
> 0
< 0
Runden Sie die Ergebnisse auf die 3. Nachkommastelle, um bei der Kontrolle eine korrekte Rückmeldung zu erhalten.
Auswertung:
f '' hat an der Stelle x1 =
Der Graph von f hat deshalb an der Stelle x1 =
f '' hat an der Stelle x2 =
Der Graph von f hat deshalb an der Stelle x2 =
3. Schritt:
Angabe der Wendepunkte
f(
) =
Wendepunkt: W1(
|
)
f(
) =
Wendepunkt: W2(
|
)
Zusatz:
Angaben zum Krümmungsverhalten
Da f ''(
) = 0 und f '''(
)
wechselt der Graph von f an der Stelle x1 =
Da f ''(
) = 0 und f '''(
)
wechselt der Graph von f an der Stelle x2 =
Da f ''(x)
im Intervall ] − ∞ ;
[ ,
ist der Graph von f in diesem Intervall
Da f ''(x)
im Intervall ]
;
[ ,
ist der Graph von f in diesem Intervall
Da f ''(x)
im Intervall ]
; + ∞ [ ,
ist der Graph von f in diesem Intervall
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