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Mathe-Training für die Oberstufe - Bestimmung von Wendepunkten

Dieses Lernprogramm erklärt, wie man die Wendepunkte einer ganzrationalen Funktion mit Hilfe der 2. und 3. Ableitung ermittelt. Anschließend bietet es die Möglichkeit, das Verfahren kontrolliert zu üben.
Beispiel 1
✔
Beispiel 2 Übung
Aufgabe:
Bestimmen Sie rechnerisch die Wendepunkte des Graphen von f mit  f(x) = 0,1x3 - 0,6x2 - x + 4,6.
Erklärung
Verfahren
1. Schritt:
Bestimmung der möglichen Wendestellen
notwendige Bedingung:    f ''(x) = 0
f '(x) = 0,3x2 - 1,2x - 1
f ''(x) = 0,6x - 1,2
(→ Lernprogramm "Ableitung ganzrationaler Funktionen", Kapitel 4.2. Ableitungsregeln)
0,6x - 1,2 = 0
Lösung der Gleichung mit dem GTR oder mit Hilfe geeigneter mathematischer Methoden (wie z. B. Umformen der Gleichung nach x, Ausklammern von x oder p,q-Formel)
Die mögliche Wendestelle lautet:
x = 2
Ein Wendepunkt ist ein Punkt, in dem der Funktionsgraph entweder von einer Rechts- in eine Linkskrümmung oder von einer Links- in eine Rechtskrümmung wechselt.
Auf einem rechtsgekrümmten Abschnitt des Funktionsgraphen nimmt die Steigung des Graphen kontinuierlich ab, auf einem linksgekrümmten Abschnitt kontinuierlich zu.
Klicken Sie
hier,
um die Änderung der Steigung im Verlauf des Funktionsgraphen mit Hilfe einer Animation zu veranschaulichen.
Der Graph der Ableitungsfunktion f ' (mit der die Steigung des Graphen von f berechnet wird) fällt deshalb in dem Intervall, in dem der Graph von f rechtsgekrümmt ist, und steigt in dem Intervall, in dem der Graph von f linksgekrümmt ist.
Wechselt der Graph von f an der Wendestelle von einer Rechts- in eine Linkskrümmung, hat der Graph von f ' an der Wendestelle von f einen lokalen Tiefpunkt.

Wechselt der Graph von f an der Wendestelle von einer Links- in eine Rechtskrümmung, hat der Graph von f ' an der Wendestelle von f einen lokalen Hochpunkt.
Es gibt ein Verfahren, das die lokalen Extremstellen einer Funktion mit Hilfe der 1. und 2. Ableitung ermittelt.
(→ Lernprogramm "Bestimmung lokaler Extrempunkte (2. Verfahren)")
Um die Wendestellen von f zu ermitteln, bestimmt man die lokalen Extremstellen von f’. Die 1. und 2. Ableitung von f’ sind f’’ und f’’’. Aus der Anwendung des Extremstellen-Verfahrens auf f’ ergibt sich ein hinreichendes Kriterium zur Bestimmung von Wendestellen:
Ist f ''(x0) = 0 und f '''(x0) ≠ 0,
hat der Graph von f an der Stelle x0 einen Wendepunkt.
Aus dem Vorzeichen von f '''(x0) kann man auf die Art des Krümmungswechsels schließen:
Ist f ''(x0) = 0 und f '''(x0) > 0,
hat der Graph von f ' an der Stelle x0 einen lokalen Tiefpunkt. Folglich wechselt der Graph von f an der Stelle x0 von einer Rechts- in eine Linkskrümmung.
Ist f ''(x0) = 0 und f '''(x0) < 0,
hat der Graph von f ' an der Stelle x0 einen lokalen Hochpunkt. Folglich wechselt der Graph von f an der Stelle x0 von einer Links- in eine Rechtskrümmung.
2. Schritt:
Untersuchung mit der 3. Ableitung
f '''(x) = 0,6
f '''(2) = 0,6 ≠ 0
Der Graph von f hat an der Stelle x = 2 einen Wendepunkt.
Zusätzlich kann der Krümmungswechsel an der Wendestelle bestimmt werden:
Da f ''(2) = 0 und f '''(2) > 0, wechselt der Graph von f an der Stelle x = 2 von einer Rechts- in eine Linkskrümmung.
3. Schritt:
Angabe des Wendepunktes
f(2) = 1
Wendepunkt:    W(2 | 1)