In diesem Kapitel üben Sie, die Steigung eines Funktionsgraphen in einem Punkt P (bzw. die 1. Ableitung einer Funktion an einer Stelle xP) mit Hilfe der Steigung einer Sekante durch P und einen weiteren Punkt Q näherungsweise zu bestimmen.
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, um eine neue Aufgabe zu erzeugen. Füllen Sie die Eingabefelder aus. Schreiben Sie das Komma in einer Zahl als Punkt. Klicken Sie auf den Button 'Kontrolle', um die Eingaben zu überprüfen.
Bestimmen Sie f '(
) für f(x) =
.
Lösung:
Der Punkt P hat die x-Koordinate xP =
. Der Punkt Q soll sehr nahe an P liegen.
Legen Sie den Abstand h zwischen xP und xQ fest (z. B. h = 0.0001 oder h = 0.00001):
h =
Bestimmen Sie die x-Koordinate von Q.
Q liegt links von P:
xQ =
−
=
Q liegt rechts von P:
xQ =
+
=
Berechnen Sie die Steigung der Sekante durch P und Q (gerundet auf die 6. Nachkommastelle).
Sie können das Ergebnis ohne Zwischenrechnungen mit dem Taschenrechner ermitteln, indem Sie die Funktionsgleichung und den Bruchterm in den GTR eingeben.
m1 =
f(
) − f(
)
−
=
m1 =
f(
) − f(
)
−
=
Kontrolle
Lösung
Wiederholen Sie die Berechnungen für einen kleineren h-Wert (z. B. h = 0.00001 oder h = 0.000001):
h =
Q liegt links von P:
xQ =
−
=
Q liegt rechts von P:
xQ =
+
=
m2 =
f(
) − f(
)
−
=
m2 =
f(
) − f(
)
−
=
Runden Sie jeweils die Werte für m1 und m2 auf die 3. Nachkommastelle (alternativ auf die 4. Nachkommastelle). Stimmen alle gerundeten Werte überein, tragen Sie diese Zahl als Ergebnis für die gesuchte Ableitung ein. Verkleinern Sie andernfalls den Abstand h und wiederholen Sie die Berechnungen.
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