Mathe-Training für die Oberstufe - Transformationen von Funktionsgraphen
Verändert man den Funktionsterm einer Funktion, hat dies eine Veränderung des Funktionsgraphen zur Folge.
Es gibt 6 typische Veränderungen (Transformationen) eines Funktionsgraphen:
VerschiebungEs gibt 6 typische Veränderungen (Transformationen) eines Funktionsgraphen:
in y-Richtung Verschiebung
in x-Richtung Streckung / Stauchung
in y-Richtung Streckung / Stauchung
in x-Richtung Spiegelung an
der x-Achse Spiegelung an
der y-Achse
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Übung ►
Verschiebung in y-Richtung
Addiert man zum Funktionsterm einer Funktion f eine beliebige reelle Zahl c (c ≠ 0), entsteht eine neue Funktion g. Der Graph von g ist im Vergleich zum Graphen von f in y-Richtung verschoben.
g(x) = f(x) + c
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g(x) = f(x)
Der Graph von g entsteht aus dem Graphen von f durch folgende Transformation:
Verschiebung in y-Richtung
um
Einheit(en) nach
Beispiel:
g(x) = f(x) + 2
Der Graph von g entsteht, indem der Graph von f um 2 Einheiten in y-Richtung nach oben verschoben wird.
Im Beispiel ist f(x) = x2 - 2x + 3.
g(x) = f(x) + (-5) = f(x) - 5
Der Graph von g entsteht, indem der Graph von f um 5 Einheiten in y-Richtung nach unten verschoben wird.
Im Beispiel ist f(x) = x2 - 2x + 3.
Verschiebung in x-Richtung
Ersetzt man im Funktionsterm einer Funktion f die Variable x durch x - d (d ≠ 0), entsteht eine neue Funktion g. Der Graph von g ist im Vergleich zum Graphen von f in x-Richtung verschoben.
g(x) = f(x - d)
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g(x) = f(x
)
Der Graph von g entsteht aus dem Graphen von f durch folgende Transformation:
Verschiebung in x-Richtung
um
Einheit(en) nach
Beispiel:
g(x) = f(x - 3)
Der Graph von g entsteht, indem der Graph von f um 3 Einheiten in x-Richtung nach rechts verschoben wird.
Im Beispiel ist f(x) = x2 + 2x - 4.
►
►
g(x) = f(x - (-2)) = f(x + 2)
Der Graph von g entsteht, indem der Graph von f um 2 Einheiten in x-Richtung nach links verschoben wird.
Im Beispiel ist f(x) = x2 + 2x - 4.
►
►
Streckung / Stauchung in y-Richtung
Multipliziert man den Funktionsterm einer Funktion f mit einer beliebigen reellen Zahl a (a > 0 und a ≠ 1), entsteht eine neue Funktion g. Der Graph von g ist im Vergleich zum Graphen von f in y-Richtung gestreckt oder gestaucht.
g(x) = a ⋅ f(x)
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g(x) =
f(x)
Der Graph von g entsteht aus dem Graphen von f durch folgende Transformation:
in y-Richtung
mit dem Faktor
(Ersetzen Sie ein Komma in
der Zahl durch einen Punkt.)
der Zahl durch einen Punkt.)
Beispiel:
g(x) = 2 ⋅ f(x)
Der Graph von g entsteht, indem der Graph von f mit dem Faktor 2 in y-Richtung gestreckt wird.
Im Beispiel ist f(x) = -0.5x2 - 2x + 1.
g(x) = 0.25 ⋅ f(x)
Der Graph von g entsteht, indem der Graph von f mit dem Faktor 0.25 in y-Richtung gestaucht wird.
Im Beispiel ist f(x) = -x2 - 4x + 2.
Streckung / Stauchung in x-Richtung
Ersetzt man im Funktionsterm einer Funktion f die Variable x durch b ⋅ x (b > 0 und b ≠ 1), entsteht eine neue Funktion g. Der Graph von g ist im Vergleich zum Graphen von f mit dem Faktor 1/b in x-Richtung gestreckt oder gestaucht.
g(x) = f(b ⋅ x)
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g(x) = f(
x)
Der Graph von g entsteht aus dem Graphen von f durch folgende Transformation:
in x-Richtung
mit dem Faktor 1 /
(Ersetzen Sie ein Komma in
der Zahl durch einen Punkt.)
der Zahl durch einen Punkt.)
Beispiel:
g(x) = f(4 ⋅ x)
Der Graph von g entsteht, indem der Graph von f mit dem Faktor 1/4 = 0.25 in x-Richtung gestaucht wird.
Im Beispiel ist f(x) = 0.25x2 - 2x + 1.
►
►
g(x) = f(0.5 ⋅ x)
Der Graph von g entsteht, indem der Graph von f mit dem Faktor 1/0.5 = 2 in x-Richtung gestreckt wird.
Im Beispiel ist f(x) = -x2 + 3x + 3.
►
Spiegelung an der x-Achse
Multipliziert man den Funktionsterm einer Funktion f mit -1, entsteht eine neue Funktion g. Der Graph von g ist im Vergleich zum Graphen von f an der x-Achse gespiegelt.
g(x) = - f(x)
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g(x) =
f(x)
Der Graph von g entsteht aus dem Graphen von f durch folgende Transformation(en):
in y-Richtung
mit dem Faktor
(Ersetzen Sie ein Komma in
der Zahl durch einen Punkt.)
der Zahl durch einen Punkt.)
Beispiel:
g(x) = - f(x)
Der Graph von g entsteht, indem der Graph von f an der x-Achse gespiegelt wird.
Im Beispiel ist f(x) = x2 - 4x + 2.
g(x) = - 2 ⋅ f(x)
Der Graph von g entsteht, indem der Graph von f an der x-Achse gespiegelt und der entstandene Graph anschließend mit dem Faktor 2 in y-Richtung gestreckt wird.
Im Beispiel ist f(x) = 0.25x2 - x + 2.
Spiegelung an der y-Achse
Ersetzt man im Funktionsterm einer Funktion f die Variable x durch -x, entsteht eine neue Funktion g. Der Graph von g ist im Vergleich zum Graphen von f an der y-Achse gespiegelt.
g(x) = f(-x)
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g(x) = f(
x)
Der Graph von g entsteht aus dem Graphen von f durch folgende Transformation(en):
in x-Richtung
mit dem Faktor 1 /
(Ersetzen Sie ein Komma in
der Zahl durch einen Punkt.)
der Zahl durch einen Punkt.)
Beispiel:
g(x) = f(-x)
Der Graph von g entsteht, indem der Graph von f an der y-Achse gespiegelt wird.
Im Beispiel ist f(x) = -0.5x2 + 4x - 1.
►
g(x) = f(- 3 ⋅ x)
Der Graph von g entsteht, indem der Graph von f an der y-Achse gespiegelt und der entstandene Graph anschließend mit dem Faktor 1/3 in x-Richtung gestaucht wird.
Im Beispiel ist f(x) = 0.5x2 - 3x + 2.5.
►
►
◄
Übung zum Thema "Transformationen von Funktionsgraphen"
Hat der Funktionsterm einer Funktion g die Form
g(x) = a ⋅ f(b ⋅ (x - d)) + c,
kann man anhand der Variablen a, b, c und d erkennen, durch welche Transformationen der Graph von g aus dem Graphen von f entstanden ist.
g(x) = a ⋅ f(b ⋅ (x - d)) + c,
kann man anhand der Variablen a, b, c und d erkennen, durch welche Transformationen der Graph von g aus dem Graphen von f entstanden ist.
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Beispiel 1:
a = 1, b = 1, c = 0, d = 0
g(x) = 1 ⋅ f(1 ⋅ (x - 0)) + 0
g(x) = f(x)
Auf den Graphen von f wurden keine Transformationen angewendet.
►
Beispiel 2:
a = -4, b = 1, c = 3, d = 0
g(x) = -4 ⋅ f(1 ⋅ (x - 3)) + 0
g(x) = - 4 ⋅ f(x - 3)
Der Graph von g entsteht, indem der Graph von f an der
x-Achse gespiegelt und mit dem Faktor 4 in y-Richtung gestreckt wird und der so entstandene Graph anschließend um 3 Einheiten in x-Richtung nach rechts verschoben wird.
x-Achse gespiegelt und mit dem Faktor 4 in y-Richtung gestreckt wird und der so entstandene Graph anschließend um 3 Einheiten in x-Richtung nach rechts verschoben wird.
►
Beispiel 3:
a = 1, b = -5, c = 0, d = 2
g(x) = 1 ⋅ f(-5 ⋅ (x - 0)) + 2
g(x) = f(- 5 ⋅ x) + 2
Der Graph von g entsteht, indem der Graph von f an der
y-Achse gespiegelt und mit dem Faktor 1/5 in x-Richtung gestaucht wird und der so entstandene Graph anschließend um 2 Einheiten in y-Richtung nach oben verschoben wird.
y-Achse gespiegelt und mit dem Faktor 1/5 in x-Richtung gestaucht wird und der so entstandene Graph anschließend um 2 Einheiten in y-Richtung nach oben verschoben wird.
Hinweis
Aus dem Funktionsterm von g folgt:
Die Verschiebung in y-Richtung wird nach der Stauchung / Streckung in y-Richtung und der Spiegelung an der x-Achse durchgeführt.
Die Verschiebung in x-Richtung wird nach der Stauchung / Streckung in x-Richtung und der Spiegelung an der y-Achse durchgeführt.
Die Verschiebung in y-Richtung wird nach der Stauchung / Streckung in y-Richtung und der Spiegelung an der x-Achse durchgeführt.
Die Verschiebung in x-Richtung wird nach der Stauchung / Streckung in x-Richtung und der Spiegelung an der y-Achse durchgeführt.
Übung zum Thema "Transformationen von Funktionsgraphen" - Level 1
◄
Klicken Sie auf den Button "Aufgabe", um eine neue Funktionsgleichung zu erzeugen.
g(x) =
f(
x
)
Der Graph von g entsteht aus dem Graphen von f durch eine einzige Transformation. Klicken Sie diese an und füllen Sie gegebenenfalls das zugehörige Eingabefeld aus.
g(x) anzeigen für:
g(x) =
3 ·
x
2
- 5 ·
x
+ 8
g(x) =
2
x
Spiegelung an der x-Achse
Spiegelung an der y-Achse
Streckung in y-Richtung mit dem Faktor
Stauchung in y-Richtung mit dem Faktor
Streckung in x-Richtung mit dem Faktor 1 /
Stauchung in x-Richtung mit dem Faktor 1 /
Verschiebung um
E. in y-Richtung nach oben
Verschiebung um
E. in y-Richtung nach unten
Verschiebung um
E. in x-Richtung nach rechts
Verschiebung um
E. in x-Richtung nach links
Übung zum Thema "Transformationen von Funktionsgraphen" - Level 2
◄
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g(x) =
f(
x
)
Der Graph von g entsteht aus dem Graphen von f durch zwei Transformationen. Klicken Sie diese an und füllen Sie gegebenenfalls die zugehörigen Eingabefelder aus.
g(x) anzeigen für:
g(x) =
3 ·
x
2
- 5 ·
x
+ 8
g(x) =
2
x
Spiegelung an der x-Achse
Spiegelung an der y-Achse
Streckung in y-Richtung mit dem Faktor
Stauchung in y-Richtung mit dem Faktor
Streckung in x-Richtung mit dem Faktor 1 /
Stauchung in x-Richtung mit dem Faktor 1 /
Verschiebung um
E. in y-Richtung nach oben
Verschiebung um
E. in y-Richtung nach unten
Verschiebung um
E. in x-Richtung nach rechts
Verschiebung um
E. in x-Richtung nach links
Übung zum Thema "Transformationen von Funktionsgraphen" - Level 3
◄
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g(x) =
f(
x
)
Der Graph von g entsteht aus dem Graphen von f durch drei Transformationen. Klicken Sie diese an und füllen Sie gegebenenfalls die zugehörigen Eingabefelder aus.
g(x) anzeigen für:
g(x) =
3 ·
x
2
- 5 ·
x
+ 8
g(x) =
2
x
Spiegelung an der x-Achse
Spiegelung an der y-Achse
Streckung in y-Richtung mit dem Faktor
Stauchung in y-Richtung mit dem Faktor
Streckung in x-Richtung mit dem Faktor 1 /
Stauchung in x-Richtung mit dem Faktor 1 /
Verschiebung um
E. in y-Richtung nach oben
Verschiebung um
E. in y-Richtung nach unten
Verschiebung um
E. in x-Richtung nach rechts
Verschiebung um
E. in x-Richtung nach links