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Mathe-Training für die Oberstufe - Bestimmung lokaler Extrempunkte (1. Verfahren)

Dieses Lernprogramm erklärt, wie man die lokalen Extrempunkte einer ganzrationalen Funktion mit Hilfe des Vorzeichenwechselkriteriums ermittelt. Anschließend bietet es die Möglichkeit, das Verfahren kontrolliert zu üben.
Beispiel 1
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Beispiel 2
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Übung
Aufgabe:
Bestimmen Sie rechnerisch die lokalen Extrempunkte des Graphen von f mit  f(x) = 0,1x3 - 0,15x2 - 1,8x + 1.
Bestimmen Sie rechnerisch die lokalen Extrempunkte des Graphen von f mit  f(x) = 0,4x3 + 1,2x2 + 1,2x + 2.
Erklärung
Verfahren
In allen lokalen Hoch- oder Tiefpunkten einer Funktion f ist die Tangente an den Graphen von f waagerecht, d. h. die Steigung der Tangente ist 0.
Die Steigung der Tangente wird mit der 1. Ableitung von f berechnet. Die x-Koordinate jedes Extrempunktes (genannt "Extremstelle") muss somit die Gleichung f '(x) = 0 erfüllen.
1. Schritt:
Bestimmung der möglichen Extremstellen
notwendige Bedingung:    f '(x) = 0
f '(x) = 0,3x2 - 0,3x - 1,8
(→ Lernprogramm "Ableitung ganzrationaler Funktionen", Kapitel 4.2. Ableitungsregeln)
0,3x2 - 0,3x - 1,8 = 0
Lösung der Gleichung mit dem GTR oder - wenn möglich - mit Hilfe geeigneter mathematischer Methoden (wie z. B. Ausklammern oder p,q-Formel)
Die möglichen Extremstellen lauten:
x1 = -2,   x2 = 3
x = -1
Ein Funktionsgraph hat nicht nur in seinen lokalen Extrempunkten, sondern auch in seinen Sattelpunkten die Steigung 0. Die x-Koordinaten der Sattelpunkte befinden sich somit unter den Lösungen der Gleichung f '(x) = 0 als mögliche Extremstellen.
Um herauszufinden, ob der Funktionsgraph an einer möglichen Extremstelle einen lokalen Hochpunkt, einen lokalen Tiefpunkt oder einen Sattelpunkt hat, wird das Steigungsverhalten des Graphen vor bzw. nach der möglichen Extremstelle untersucht.
In einem lokalen Hochpunkt wechselt der Graph einer Funktion f vom Steigen zum Fallen.
Die Ableitungsfunktion f ' (mit der die Steigung des Graphen von f berechnet wird) wechselt an der lokalen Maximalstelle von f das Vorzeichen von + nach - .
In einem lokalen Tiefpunkt wechselt der Graph von f vom Fallen zum Steigen.
Die Ableitungsfunktion f ' wechselt an der lokalen Minimalstelle von f das Vorzeichen von - nach + .
In einem Sattelpunkt ändert der Graph von f sein Steigungsverhalten nicht, f ' hat an der Sattelstelle von f keinen Vorzeichenwechsel. Der Graph von f ' berührt an der Sattelstelle von f die x-Achse.
2. Schritt:
Untersuchung des Steigungsverhaltens
Die möglichen Extremstellen unterteilen die x-Achse in Monotonieintervalle, in denen der Graph von f entweder nur steigt oder nur fällt.
Aus jedem Monotonieintervall wird eine beliebige Zahl ausgewählt und in f '(x) eingesetzt, um das Vorzeichen von f ' im jeweiligen Intervall zu ermitteln.
↓
↓
↓
↓
↓
f '(-3) = 1,8 > 0
f '(-2) = 1,2 > 0
f '(0) = -1,8 < 0
f '(4) = 1,8 > 0
f '(0) = 1,2 > 0
Auswertung mit dem Vorzeichenwechselkriterium:
f ' wechselt an der Stelle x1 = -2 das Vorzeichen von + nach - .

Der Graph von f hat deshalb an der Stelle
x1 = -2  einen lokalen Hochpunkt.
f ' hat an der Stelle x = -1 keinen Vorzeichenwechsel.

Der Graph von f hat deshalb an der Stelle
x = -1  einen Sattelpunkt. Er hat keine lokalen Extrempunkte.
f ' wechselt an der Stelle x2 = 3 das Vorzeichen von - nach + .

Der Graph von f hat deshalb an der Stelle
x2 = 3  einen lokalen Tiefpunkt.
3. Schritt:
Angabe der lokalen Extrempunkte
f(-2) = 3,2 ( = lokales Maximum)
f(3) = -3,05 ( = lokales Minimum)
f(-1) = 1,6
lokaler Hochpunkt:    H(-2 | 3,2)
lokaler Tiefpunkt:      T(3 | -3,05)
Sattelpunkt:    S(-1 | 1,6)